Số hữu tỉ là gì? số vô tỉ là gì?

Trong toán học, khái niệm số hữu tỉ và số vô tỉ đóng vai trò nền tảng, giúp học sinh hiểu sâu hơn về các tập hợp số trong hệ thống số thực. Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết định nghĩa, tính chất, cách phân biệt và ứng dụng của hai loại số này.

Nội Dung

1. Số hữu tỉ là gì?

Định nghĩa

Số hữu tỉ là tập hợp các số có thể viết được dưới dạng phân số $ab\frac{a}{b}$ , trong đó $\in \mathbb{Z}$ (số nguyên) và $\neq 0$ . Những số này bao gồm:

Số nguyên
Số thập phân hữu hạn
Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Tập hợp số hữu tỉ được ký hiệu là $Q\mathbb{Q}$ .

$Q={ab∣a,b∈Z,b≠0}\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \bigg| a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \right\}$

Ví dụ:

Số nguyên: $1, - 3, 0$ đều là số hữu tỉ, vì chúng có thể viết dưới dạng $11,−31,01\frac{1}{1}, \frac{-3}{1}, \frac{0}{1}$ .
Số thập phân vô hạn tuần hoàn: $\frac{1}{3}$ .

Phân loại số hữu tỉ

Số hữu tỉ dương: Các số lớn hơn $0$ , ví dụ: $\frac{1}{2}, 2.75$ .
Số hữu tỉ âm: Các số nhỏ hơn $0$ , ví dụ: $−45,−3.14-\frac{4}{5}, -3.14$ .
Số $0$ : Không phải số hữu tỉ dương cũng không phải số hữu tỉ âm.

Tính chất của số hữu tỉ

Tập hợp số hữu tỉ là đếm được.
Các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia (trừ chia cho $0$ ) đều giữ nguyên số hữu tỉ.
Có tính chất giao hoán, kết hợp và tính phân phối đối với phép cộng và nhân.

Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Số hữu tỉ có thể biểu diễn trên trục số bằng cách chia đoạn đơn vị thành các phần bằng nhau dựa vào mẫu số. Ví dụ, để biểu diễn $76\frac{7}{6}$ :

Chia đoạn $1$ thành $6$ phần bằng nhau.
Điểm $P$ nằm cách $0$ $7$ phần đơn vị này.

2. Phép toán với số hữu tỉ

Cộng, trừ số hữu tỉ

Quy tắc: Quy đồng mẫu số rồi thực hiện phép cộng hoặc trừ tử số.
Ví dụ:

$13+25=515+615=1115\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}$

Nhân, chia số hữu tỉ

Quy tắc: Nhân (hoặc chia) tử số với tử số, mẫu số với mẫu số.
Ví dụ:

$25×37=635,25÷37=25×73=1415.\frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{6}{35}, \quad \frac{2}{5} \div \frac{3}{7} = \frac{2}{5} \times \frac{7}{3} = \frac{14}{15}.$

Lũy thừa số hữu tỉ

Các công thức lũy thừa cơ bản:

$(xm⋅xn=xm+n),(xm)n=xm⋅n,(xy)n=xn⋅yn.(x^m \cdot x^n = x^{m+n}), \quad (x^m)^n = x^{m \cdot n}, \quad (xy)^n = x^n \cdot y^n.$

3. Số vô tỉ là gì?

Định nghĩa

Số vô tỉ là những số không thể viết được dưới dạng phân số $ab\frac{a}{b}$ với $\in \mathbb{Z}, b \neq 0$ . Chúng là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp số vô tỉ được ký hiệu là $I\mathbb{I}$ .

Ví dụ:

Số $2\sqrt{2}$ : Không thể biểu diễn dưới dạng phân số.
Số $π≈3.14159…\pi \approx 3.14159…$ : Là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Tính chất của số vô tỉ

Tập hợp số vô tỉ là không đếm được.
Không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên.

4. Sự khác nhau giữa số hữu tỉ và số vô tỉ

Đặc điểm	Số hữu tỉ ( $Q\mathbb{Q}$ )	Số vô tỉ ( $I\mathbb{I}$ )
Biểu diễn thập phân	Hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn	Vô hạn không tuần hoàn
Khả năng biểu diễn	Dưới dạng $ab,b≠0\frac{a}{b}, b \neq 0$	Không thể viết dưới dạng $ab\frac{a}{b}$
Tính chất đếm được	Có thể đếm được	Không thể đếm được

5. Ứng dụng trong toán học và thực tế

Số hữu tỉ thường dùng trong các phép đo lường chính xác và trong tính toán thường ngày.
Số vô tỉ xuất hiện trong các bài toán liên quan đến hình học (ví dụ: $2,π\sqrt{2}, \pi$ ) và các lý thuyết toán học trừu tượng.

Hiểu rõ khái niệm và tính chất của số hữu tỉ, số vô tỉ giúp học sinh xây dựng nền tảng toán học vững chắc, ứng dụng hiệu quả trong học tập và đời sống.